一、序言

　　【壓縮機(jī)網(wǎng)】W型壓縮機(jī)在我們的日常生活中非常常見。我廠目前已有的該類產(chǎn)品有0.5/14，0.9/10，1.25/10，1.8/8，CW480/40系列等。我們?cè)谶@些年的生產(chǎn)和試制過程中發(fā)現(xiàn)：每種機(jī)器在初始試制中，由于三列的活塞等往復(fù)質(zhì)量控制不理想，機(jī)器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速都在1000r/min左右，或許是剛開始設(shè)計(jì)活塞重量時(shí)欠考慮，機(jī)器試制時(shí)振動(dòng)烈度都較高。隨著后期該種機(jī)器的批量投產(chǎn)，鋁活塞的質(zhì)量也在強(qiáng)度允許范圍內(nèi)有所下降，工程技術(shù)人員也意識(shí)到多級(jí)壓縮時(shí)不同級(jí)的活塞往復(fù)質(zhì)量的偏差區(qū)間要從嚴(yán)考慮，現(xiàn)在W型機(jī)器的振動(dòng)烈度比試制初期改善了許多。

　　本文以單曲拐、W型角度式壓縮機(jī)為例，由于往復(fù)質(zhì)量的差異，從理論上分析推導(dǎo)出機(jī)器的一、二階往復(fù)慣性力的公式，該慣性力作用在曲軸箱體中心點(diǎn)上，該變化的慣性力的矢端在曲軸的運(yùn)動(dòng)平面上形成了慣性力的矢端軌跡力圖。根據(jù)該公式，提出合適的平衡一、二階往復(fù)慣性力的措施，用以推動(dòng)國(guó)內(nèi)的壓縮機(jī)的升級(jí)換代。

　　二、基礎(chǔ)理論

　　1.正方向的問題

　　W型壓縮機(jī)的三列連桿并列于同一的曲拐軸上，如圖1所示，為通用性計(jì)，該圖列之間夾角沒有畫成60°。我們這里考慮兩級(jí)壓縮機(jī)，它有兩個(gè)一級(jí)一個(gè)二級(jí)，設(shè)一級(jí)的往復(fù)部件質(zhì)量為m_s1，二級(jí)往復(fù)部件質(zhì)量為m_s2，以圖示的右邊的一列m_s2為基準(zhǔn)建立直角坐標(biāo)系moy，規(guī)定投影到曲柄方向?yàn)閤軸，與曲柄垂直的方向?yàn)閥軸。這里規(guī)定x軸正方向是由機(jī)器中心向外指，這與壓縮機(jī)中將連桿受拉伸規(guī)定為正值相吻合，壓縮機(jī)動(dòng)力計(jì)算時(shí)也將曲柄在上死點(diǎn)位置時(shí)運(yùn)動(dòng)部件受到的往復(fù)慣性力為正的最大值。y軸的正方向規(guī)定為將x軸順旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)一直角方向?yàn)槠湔较颉＿@樣的規(guī)定都是為了方便計(jì)算，為后面的各種計(jì)算打下基礎(chǔ)，也更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

　　2.研究手段問題

　　本文采用歐拉公式研究三列慣性力矢量的合力問題，將教科書上推導(dǎo)過程中采用垂直和水平方向兩個(gè)式子合并成一個(gè)式子，這里規(guī)定x軸代表向量的實(shí)部，y軸代表向量的虛部，二者連接采用虛數(shù)單位i來(lái)連接。運(yùn)用到的相關(guān)公式如下：

　　（1）

　　為工程指數(shù)，為虛數(shù)單位，為曲柄轉(zhuǎn)角，單位為弧度，規(guī)定順時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，θ為變量函?shù)。該式子描述的也就是單位圓。

　　（2）

　　該式子也是上復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。

　　一階慣性力是余弦函數(shù)，本文將一對(duì)互為共軛的復(fù)數(shù)的平均值來(lái)研究一、二階慣性力。

　　（4）

　　它巧妙地運(yùn)用到兩個(gè)不同相位的歐拉函數(shù)的代數(shù)和來(lái)研究慣性力的投影問題。式子的右邊正好是圖示中中間列一階慣性力投影到xoy坐標(biāo)系上兩個(gè)方向上兩個(gè)力的大小，根據(jù)前面規(guī)定了x，y軸的正方向，注意到上式的虛部應(yīng)為負(fù)值。該式的“”用“—”代替后形成新的公式后文中也會(huì)運(yùn)用到它。

　　

（5）

　　該式子是圖2中間列二階慣性力投影到xoy坐標(biāo)系上兩個(gè)方向上兩個(gè)力的大小。該式的“ ”用“— ”代替后形成新的公式就是圖1中二階慣性力的計(jì)算公式。

　　3.研究切入點(diǎn)問題

　　本文研究慣性力的計(jì)算公式及其圖像，顧及三列不同的往復(fù)質(zhì)量對(duì)計(jì)算公式的影響，所以研究的起始點(diǎn)非常重要。文章分析了兩種往復(fù)質(zhì)量的計(jì)算公式，為計(jì)算方便，通常θ角的計(jì)入零點(diǎn)規(guī)定為ms2列活塞處于上死點(diǎn)的位置。文中得到的計(jì)算公式與選擇上面的計(jì)入零點(diǎn)無(wú)關(guān)。

　　三、計(jì)算過程

　　文中分析了m_s2列活塞偏置一邊時(shí)順時(shí)針及反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一、二階往復(fù)慣性力的計(jì)算公式，對(duì)ms2列活塞置于中間時(shí)旋轉(zhuǎn)方向已不重要了，文中也分析了若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)計(jì)算公式。三列活塞套入曲柄銷的先后順序形成的慣性力矩也各不相同，由于微小，本文不作研究。文中假設(shè)三列都在同一個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)平面上往復(fù)慣性力合成后的矢端軌跡圖像。

　　1.用基礎(chǔ)理論分析圖1形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　

（6）

　　r為曲柄半徑。ω為旋轉(zhuǎn)角速度，以弧度計(jì)入計(jì)算。C為后文列出的公式書寫方便引入的記號(hào)。

　　1.1一階慣性力的計(jì)算

　　（7）

　　

（8）

　　該式用到了三角函數(shù)的和差化積公式。

　　（9）

　　上式就是W型夾角60°一階往復(fù)慣性力復(fù)數(shù)表達(dá)式。

　　（10）

　　上式表明，一階慣性力矢端軌跡是一橢圓，變化的周期和曲軸旋轉(zhuǎn)的周期相同。該橢圓的圖像在運(yùn)動(dòng)平面上相當(dāng)于將標(biāo)準(zhǔn)橢圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30°，若m_s2＞m_s1，長(zhǎng)半軸為(m_s2+0.5m_s1)C，短半軸為(1.5m_s1)C；若m_s2＝m_s1，橢圓退化成圓，半徑為(1.5m_s1)C。

　　1.2二階慣性力的計(jì)算

　　（11）

　　式中λ為曲柄半徑連桿比。

　　

（12）

　　（13）

　　（14）

　　這是W型夾角60°二階往復(fù)慣性力復(fù)數(shù)表達(dá)式。

　　這也是二階慣性力參數(shù)方程的表達(dá)式。

　　為尋找上方程所描述的圖像，先假定兩個(gè)往復(fù)質(zhì)量相等，利用尋找兩個(gè)變量的二次多項(xiàng)式方程方法和矩陣轉(zhuǎn)換法來(lái)進(jìn)行。

　?。?6）

　　（17）

　　

（18）

　　根據(jù)線性代數(shù)中二次多項(xiàng)式的判別式定理，滿足上兩個(gè)條件，所以二階慣性力也是一個(gè)橢圓。

　　坐標(biāo)系順轉(zhuǎn)30°后，由于y軸在標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)的對(duì)面，相當(dāng)于坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，作坐標(biāo)系的矩陣變換的因子為

　　上式清晰地表明二階慣性力的軌跡是橢圓，變化的周期是曲軸旋轉(zhuǎn)的周期的一半。經(jīng)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換后的參數(shù)方程表明：該橢圓的長(zhǎng)半軸是短半軸的3倍，不論是在xoy坐標(biāo)系還是在x'oy'坐標(biāo)系中，其橢圓的長(zhǎng)半軸始終在水平方向，這與三列活塞在旋轉(zhuǎn)平面的分布緊密聯(lián)系，后文還分析表明，不論m_s2處于偏置還是中間位置，不論旋轉(zhuǎn)方向，二階慣性力矢端力圖始終是橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸始終處于水平方向，不過其相位變化比較復(fù)雜，式（19）可以看出θ為30°時(shí)，力矢到達(dá)該橢圓的短半軸位置，這兩個(gè)矢量不在同一方向成90°，θ為 — 15°時(shí)，力矢到達(dá)該橢圓的長(zhǎng)半軸位置，這兩個(gè)矢量不在同一方向成45°。二階慣性力的變化比曲軸自身旋轉(zhuǎn)變化快一倍。

　　2.用基礎(chǔ)理論分析圖2形式反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　2.2一階慣性力的計(jì)算

　　（20）

　　

（21）

　　該式表明反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，一階慣性力復(fù)數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程形式上與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)完全相同，說明W型60°布置時(shí)，軌跡力圖與轉(zhuǎn)向無(wú)關(guān)，軌跡力矢的方向始終在曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)方向矢附近。當(dāng)二者質(zhì)量相等時(shí)，就成圓的變化，能夠在曲柄的反方向加一合適的平衡重，達(dá)到完全平衡掉一階往復(fù)慣性力。

　　2.2二階慣性力的計(jì)算

　　（22）

　?。?3）

　　（24）

　　上式表明反時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，二階慣性力直角坐標(biāo)方程形式上與順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)不同，說明換一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，需要另一種方程描述二階慣性力的表現(xiàn)形式。后文的計(jì)算表明，它們的軌跡力圖是相同的。文章從理論提供了該力矢的數(shù)學(xué)表達(dá)式，希望能找到一種合適的機(jī)構(gòu)加裝上也能夠平衡掉二階往復(fù)慣性力。

　　下面仿上面的假設(shè)，推導(dǎo)出它是一橢圓的依據(jù)。

　?。?5）

　　坐標(biāo)系順轉(zhuǎn)30°后

　　3.用基礎(chǔ)理論分析圖3形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　　3.1一階慣性力的計(jì)算

　?。?7）

　?。?8）

　　一階力矢成橢圓變化。

　　3.2二階慣性力的計(jì)算

　?。?9）

　?。?0）

　?。?1）

　　二階力矢也成橢圓變化，這種布置θ為0°時(shí)，力矢到達(dá)該橢圓的短半軸位置，曲柄方向矢與二階力矢在同一方向。

　　3.3討論

　　對(duì)于這種如圖3所示分布的機(jī)器，由式（28）、（30）可知：

　?、佼?dāng)m_s2＝m_s1時(shí)，一階慣性力成圓的分布，二階慣性力成長(zhǎng)短軸之比為3：1橢圓的分布；

　?、诋?dāng)m_s2＝2m_s1時(shí)，一階慣性力成長(zhǎng)短軸之比為5：3橢圓的分布，二階慣性力成圓的分布。

　　4.總結(jié)

　　從上面的三種情況分析和計(jì)算，可以得出W型60°布置有兩個(gè)m_s1和一個(gè)m_s2往復(fù)質(zhì)量時(shí)有以下結(jié)論：

　　4.1一階慣性力是一橢圓，m_s2列中心線是該橢圓的一個(gè)對(duì)稱軸方向，不論m_s1、m_s1、m_s2在運(yùn)動(dòng)平面上如何分布，若m_s2＞m_s1，則長(zhǎng)軸在m_s2列方向，反之則短軸在m_s2列方向。

　　4.2二階慣性力也是一橢圓，若m_s1＝m_s2，不論采用上面三種情況的特殊情形來(lái)計(jì)算，該橢圓的長(zhǎng)軸始終在水平方向，短軸在豎直方向，并且長(zhǎng)半軸是短半軸的3倍。若m_s1≠m_s2，則會(huì)將原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓作一適量旋轉(zhuǎn)，長(zhǎng)短半軸的數(shù)值也會(huì)作微量變化。

　　四、舉例分析

　　本文以安徽華晶機(jī)械有限公司生產(chǎn)的WW-0.9/10B-Q型全無(wú)油空壓機(jī)為例分析W型60°二級(jí)壓縮機(jī)的一、二階往復(fù)慣性力。其中一級(jí)往復(fù)質(zhì)量m_s1為1.82kg，二級(jí)往復(fù)質(zhì)量m_s2為1.76kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s?，F(xiàn)將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入上文中所列的相關(guān)公式中，運(yùn)用計(jì)算機(jī)內(nèi)EXCEL程序列表、繪圖計(jì)算分析，其結(jié)果如下：

　　1）按圖1形式作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其一、二階慣性力矢端力圖如圖4所示。

　　計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)按照?qǐng)D4所示建立的直角坐標(biāo)系xoy后，按照順時(shí)針轉(zhuǎn)θ角后，一階往復(fù)慣性力如I_Ⅰ(θ)所示，它是一個(gè)橢圓，二階往復(fù)慣性力如I_Ⅱ(θ)所示，它也是一個(gè)很明顯的橢圓。一階慣性力的短半軸、長(zhǎng)半軸為703N、719N，短軸在x軸方向上，該橢圓旋轉(zhuǎn)30°后形成標(biāo)準(zhǔn)橢圓。二階慣性力圖是按照總往復(fù)質(zhì)量不變，三列往復(fù)質(zhì)量相等繪制的（下同），即m_s1＝m_s2＝1.8kg，它是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，二階慣性力的長(zhǎng)半軸、短半軸為136.7N、45.6N，長(zhǎng)軸始終在水平方向，長(zhǎng)短軸之比為3：1。圖中還顯示了當(dāng)θ＝0°，二階慣性力的向量是IⅡ(0)，在x軸上刻度是91.1N，也就是式（11）中θ為0時(shí)的實(shí)部，該向量與x軸交角為40.9°，也就是說，初始的二階慣性力向量與曲柄矢不重合。當(dāng)曲軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，二階慣性力是從I_Ⅱ(0)位置開始沿著其二階力橢圓形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了2周，而一階力則沿著外面的橢圓順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了1周。

　　上面二階力的表現(xiàn)形式讓人們很容易聯(lián)想到：對(duì)于V型90°的機(jī)器，若兩列的往復(fù)質(zhì)量相等，則二階往復(fù)慣性力的合力始終作用在水平線上，是一段經(jīng)過圓心的線段。W型機(jī)器二階慣性力也有類似的性質(zhì)，只不過將那線段從中間往上下拉，將線段變成了橢圓。對(duì)于上圖實(shí)際情形的質(zhì)量分布，其二階力圖長(zhǎng)半軸、短半軸為135.9N、46.8N，并且實(shí)際二階力圖是將上圖順轉(zhuǎn)了一個(gè)微小的角度。現(xiàn)將往復(fù)質(zhì)量的不同更一般的情況列表如下：

　　上表顯示了W型二級(jí)壓縮機(jī)，二級(jí)往復(fù)質(zhì)量m_s2偏離理論質(zhì)量，會(huì)引起一階慣性力成橢圓變化。偏離越多橢圓化越嚴(yán)重，不論質(zhì)量是增大還是減小；而其一周內(nèi)的平均值始終不變。而二階慣性力則始終保持了長(zhǎng)軸在水平方向，二級(jí)往復(fù)質(zhì)量增大時(shí)，原長(zhǎng)短徑3：1的橢圓愈扁平化，減小時(shí)愈圓形化。

　　對(duì)于上表第四欄，若將二級(jí)往復(fù)質(zhì)量1.62增大，使總往復(fù)質(zhì)量超出5.4千克，則會(huì)引起一、二階往復(fù)慣性力都增大。

　　2）按圖2形式作反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其一、二階慣性力矢端力圖如圖5所示。

　　這里需說明的是，一階慣性力圖還是圖4種那個(gè)大橢圓，方向矢則順著曲柄矢沿軌跡圖反時(shí)針變化，兩矢量近似跟隨。二階慣性力圖也類似這樣，并且圖5與圖4起始的二階慣性力矢量IⅡ(0)不變。

　　3）按圖3形式作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其一、二階慣性力矢端力圖如圖6所示。

　　應(yīng)注意到對(duì)于往復(fù)質(zhì)量固定的這些分布的型式，一、二階慣性力矢圖非常相似。也就是說，結(jié)構(gòu)決定了力矢圖。文末再提及一下二階慣性力的橢圓應(yīng)設(shè)法平衡，特別是在機(jī)器往大的方向發(fā)展時(shí)，往復(fù)質(zhì)量ms、C值都變大時(shí)尤為需要。

　　〈本文未完待續(xù)，更多精彩內(nèi)容見下期——〉

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