【壓縮機網(wǎng)】一、序言

　　W型壓縮機在工業(yè)應(yīng)用上非常常見，然而它內(nèi)部的結(jié)構(gòu)絕大多數(shù)都是單曲拐結(jié)構(gòu)。能不能將曲軸設(shè)計成三曲拐的結(jié)構(gòu)？

　　記得十多年前在新聞聯(lián)播中看過沈鼓、陜鼓一些大型壓縮機三曲拐曲軸加工的畫面，當(dāng)時就想過小型W型無油機能否也采用這種三曲拐的結(jié)構(gòu)？現(xiàn)在的一些壓縮機教材里沒有提及角度式三曲拐W型壓縮機，僅是詳細(xì)分析介紹了角度式單曲拐W型60°壓縮機一些理論。三曲拐的曲軸在一些大型的臥式機器中有應(yīng)用，課本中對這種結(jié)構(gòu)的機器進行了慣性力的分析。雖然目前教材上沒有提及該種結(jié)構(gòu)，但不代表這種結(jié)構(gòu)不能合法存在。只是這種結(jié)構(gòu)在一階慣性力平衡方面有它的弊端，然而在其它方面也有它的優(yōu)點。因前期對單曲拐W型各種角度的壓縮機一、二階往復(fù)慣性力進行了詳細(xì)分析計算，因而信手拈來將三曲拐的結(jié)構(gòu)也進行詳細(xì)分析，期望從理論上揭示該種結(jié)構(gòu)的特點，以期擴展壓縮機的結(jié)構(gòu)，推動國內(nèi)壓縮機技術(shù)的發(fā)展。

　　本文以關(guān)于中心點對稱的三曲拐、W型各種角度式壓縮機為例，考慮到往復(fù)質(zhì)量的差異，從理論上分析推導(dǎo)出機器的一、二階往復(fù)慣性力的公式，分析各種因素對機器的影響，從而遴選出性價比高的結(jié)構(gòu)，可以嘗試作為未來的工業(yè)應(yīng)用。該慣性力作用點為曲軸箱體中心點，其大小和變化形成了慣性力的矢端軌跡力圖。根據(jù)該公式，提出合適的平衡一、二階往復(fù)慣性力的措施。創(chuàng)新拓展壓縮機理論和結(jié)構(gòu)型式，推動全球范圍內(nèi)W型壓縮機的升級換代。

　　二、基礎(chǔ)理論

　　1.正方向的問題

　　三曲拐W型壓縮機是指曲軸有三個拐，拐拐之間互成120°且不在同一個運動平面，能夠獲得旋轉(zhuǎn)慣性力的自動平衡。三個拐所裝配的連桿中心距相等，如圖1所示。我們這里考慮兩級壓縮機，它有兩個一級一個二級，設(shè)一級的往復(fù)部件質(zhì)量為m_s1，二級往復(fù)部件質(zhì)量為m_s2，以圖1中間的一列m_s2為基準(zhǔn)建立直角坐標(biāo)系xoy，圖2與圖3中都是以m_s2列為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系，這是考慮到有兩種質(zhì)量參與計算的方便。然而對于m_s2列偏置分布建立的坐標(biāo)系不是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的主方向，不容易看出一、二階慣性力的特征，需要運用到坐標(biāo)矩陣變換關(guān)系式。規(guī)定投影到曲柄方向為x軸，與曲柄垂直的方向為y軸。這里規(guī)定x軸正方向是由機器中心向外指，這與壓縮機中將連桿受拉伸規(guī)定為正值相吻合，壓縮機動力計算時也將曲柄在上死點位置時運動部件受到的往復(fù)慣性力為正的最大值。y軸的正方向規(guī)定為將x軸順旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)一直角方向為其正方向。這樣的規(guī)定都是為了方便計算，為后面的各種計算打下基礎(chǔ)，也更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

　　2.研究手段問題

　　本文采用歐拉公式研究三列慣性力矢量的合力問題，將教科書上推導(dǎo)過程中采用垂直和水平方向兩個式子合并成一個式子，這里規(guī)定x軸代表向量的實部，y軸代表向量的虛部，二者連接采用虛數(shù)單位i來連接。運用到的相關(guān)公式如下：

　　e為工程指數(shù)，i為虛數(shù)單位，θ為曲柄轉(zhuǎn)角，單位為弧度，規(guī)定順時針旋轉(zhuǎn)方向為正值，θ為變量函數(shù)。該式子描述的也就是單位圓。

　　該式子也是上復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。

　　一階慣性力是余弦函數(shù)，本文將一對互為共軛的復(fù)數(shù)的平均值來研究一、二階慣性力。

　　它巧妙地運用到兩個不同相位的歐拉函數(shù)的代數(shù)和來研究慣性力的投影問題。式子的右邊正好是圖1中右邊列一階慣性力投影到xoy坐標(biāo)系上兩個方向上兩個力的大小。圖1中氣缸間夾角γ為60°，由于曲拐間的夾角都是120°，所以右邊的活塞工作相位值為，根據(jù)前面規(guī)定了x、y軸的正方向，注意到上式的虛部應(yīng)為正值。上式子描述的力是相對于中間為基準(zhǔn)超前的列的一階慣性力。大家發(fā)現(xiàn)，該式子就是將單曲拐落后的列的力的代數(shù)式取其共軛復(fù)數(shù)來計算。

　　將該式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式就是圖1中左邊列的一階慣性力。

　　該式子是圖1中左邊列二階慣性力投影到xoy坐標(biāo)系上兩個方向上兩個力的大小?？梢则炈惝?dāng)θ為0時，該列的相位角為－60°，所以其二階慣性力為上式。同樣的，將該式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式就是圖1中右邊列的二階慣性力的計算公式。

　　上面兩個公式僅對夾角為60°的適用，對其它角度例如45°的要給予修正。

　　3.研究切入點問題

　　本文研究慣性力的計算公式及其圖像，顧及三列不同的往復(fù)質(zhì)量對計算公式的影響，所以研究的起始點非常重要。文章分析了兩種往復(fù)質(zhì)量的計算公式，為計算方便，通常θ角的計入零點規(guī)定為ms2列活塞處于上死點的位置。文中得到的計算公式與選擇上面的計入零點無關(guān)，也就是說，當(dāng)將自變量θ轉(zhuǎn)換成主方向位置時，只需要將所有公式里作相應(yīng)的帶入變換。

　　三、計算過程

　　文中分析了ms2列活塞居中布置和偏置一邊時順時針及反時針旋轉(zhuǎn)時一、二階往復(fù)慣性力的計算公式?？紤]到二級壓縮機有兩種往復(fù)質(zhì)量，居中布置與偏置布置結(jié)構(gòu)上有所不同，需要針對各自的型式進行單獨研究，得到的慣性力公式形式迥異，所進行的坐標(biāo)系矩陣變換工作量也不相同，偏置布置需要進行大量的矩陣變換而居中布置無需進行；偏置布置時順、反時針旋轉(zhuǎn)這兩種情況比較起來，得到的慣性力公式基本相同，僅相差幾個正負(fù)號而已。

　　三列活塞套入三個曲柄銷的先后順序形成的慣性力矩也各不相同，雖然微小，本文不作研究。文中假設(shè)三列都在同一個往復(fù)運動平面上往復(fù)慣性力合成后的矢端軌跡圖像。

　　1.用基礎(chǔ)理論分析圖1形式三曲拐順時針轉(zhuǎn)動時慣性力

　　r為曲柄半徑。ω為旋轉(zhuǎn)角速度，以弧度計入計算。C為后文列出的公式書寫方便引入的記號。

　　1.1一階慣性力的計算

　　上式若采用三角函數(shù)來運算，則就是下面的兩個式子

　　對（7）式再進行運算化簡

　　這是居中布置時三曲拐W型夾角60°一階往復(fù)慣性力復(fù)數(shù)表達式。

　　當(dāng)兩個質(zhì)量相等時，即是

　　一階力矢在m_s2＝m_s1時成圓的變化，其方向與曲柄轉(zhuǎn)動的方向正好相反，大小與單曲拐的該種型式相同。不能采用在曲柄的反方向加一合適的平衡重來完全平衡掉一階往復(fù)慣性力，需要采用其它合適的機構(gòu)來平衡一階慣性力。

　　若m_s2＞m_s1，則此時的一階慣性力圖是橢圓。由于m_s2居中分布時所建立的坐標(biāo)系屬于主方向的位置，其一階慣性力運動形式與單曲拐的該種結(jié)構(gòu)比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉(zhuǎn)動方向不同，所以它們的長軸都在x軸上，也就是圖示中的豎直方向，短軸在水平方向。這種情形不同于偏置分布時的狀況。

　　1.2二階慣性力的計算

　　式中λ為曲柄半徑連桿比。

　　這是居中布置時三曲拐W型夾角60°二階往復(fù)慣性力復(fù)數(shù)表達式。

　　同樣的，若采用三角函數(shù)來運算，則是下面的兩個式子

　　二階力矢在m_s2＝m_s1時成短長軸比為1:3的橢圓變化。這種布置時θ為0°時，力矢到達該橢圓的短半軸位置，曲柄方向矢與二階力矢在同一方向，但在該瞬時曲柄轉(zhuǎn)向與二階慣性力變化方向互為反方向。二階慣性力旋轉(zhuǎn)方向與單曲拐的該種型式不同。

　　若m_s2＞m_s1，同樣的，由于m_s2居中分布時所建立的坐標(biāo)系屬于主方向的位置，其二階慣性力運動形式與單曲拐的該種結(jié)構(gòu)比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉(zhuǎn)動方向不同，所以這種情形時會使原短長軸比為1:3的橢圓有所微量變化。但不會引起橢圓偏轉(zhuǎn)，這與偏置分布時的不同。一、二階慣性力圖因往復(fù)質(zhì)量的不同都不會引起橢圓偏轉(zhuǎn)可以理解為，左右兩個m_s1共同作用所引起的慣性力的合力導(dǎo)致的。

　　2.用基礎(chǔ)理論分析圖2形式三曲拐順時針轉(zhuǎn)動時慣性力

　　2.1一階慣性力的計算

　　該式用到了三角函數(shù)的和差化積公式。

　　上式表明，一階慣性力矢端軌跡是一橢圓，變化的周期和曲軸旋轉(zhuǎn)的周期相同。在建立的xoy直角坐標(biāo)系中，該橢圓的圖像是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓圖像。如果從主方向即x'oy'直角坐標(biāo)系來看，它不是標(biāo)準(zhǔn)橢圓，相當(dāng)于將該主方向上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓反時針旋轉(zhuǎn)了30°。

　　若ms2＞ms1，長半軸為，長軸在m_s2列氣缸軸線上；短半軸為，短軸在m_s1列氣缸軸線上。由于m_s2偏置分布時所建立的坐標(biāo)系不屬于主方向的位置，其一階慣性力運動形式與單曲拐的該種結(jié)構(gòu)比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉(zhuǎn)動方向不同。若m_s2＝m_s1，橢圓退化成圓，半徑為。

　　2.2二階慣性力的計算

　　這是該種偏置布置不向自身旋轉(zhuǎn)時三曲拐W型夾角60°二階往復(fù)慣性力復(fù)數(shù)表達式。

　　這是其二階慣性力參數(shù)方程的表達式。

　　為尋找上方程所描述的圖像，先假定兩個往復(fù)質(zhì)量相等，利用尋找兩個變量的二次多項式方程方法和矩陣轉(zhuǎn)換法來進行。下面仿上面的假設(shè)，推導(dǎo)出它是一橢圓的依據(jù)。

　　根據(jù)線性代數(shù)中二次多項式的判別式定理，滿足上兩個條件，所以二階慣性力也是一個橢圓。

　　由圖1可以看出，原坐標(biāo)系作正值旋轉(zhuǎn)30°后到x'oy'坐標(biāo)系，也就是將坐標(biāo)系作逆時針旋轉(zhuǎn)30°，作坐標(biāo)系的矩陣變換的因子為

　　上式清晰地表明二階慣性力的軌跡是橢圓，變化的周期是曲軸旋轉(zhuǎn)周期的一半。經(jīng)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換后的參數(shù)方程表明：該橢圓的長半軸是短半軸的3倍，二階慣性力旋轉(zhuǎn)方向與單曲柺的該種型式不同，曲柄轉(zhuǎn)向與二階慣性力變化方向互為反方向。不論是在xoy坐標(biāo)系還是在x'oy'坐標(biāo)系中，其橢圓的長半軸始終在水平方向，這與三列活塞在旋轉(zhuǎn)平面的分布緊密聯(lián)系。后文還分析表明，不論ms2處于偏置還是中間位置，不論旋轉(zhuǎn)方向，二階慣性力矢端力圖始終是橢圓，該橢圓的長軸始終處于水平方向，不過其相位變化比較復(fù)雜。式（27）可以看出θ為15°時，力矢到達該橢圓的長半軸正的位置，這兩個矢量不在同一方向成15°；θ為60°時，力矢到達該橢圓的短半軸負(fù)的位置，這兩個矢量不在同一方向成120°。二階慣性力的變化比曲軸自身旋轉(zhuǎn)變化快一倍。

　　結(jié)合圖2可得，形如式（25）、（26）參數(shù)方程，其圖像是將標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系中短長軸之比為1：3的橢圓反針旋轉(zhuǎn)30°所得到的圖象。

　　若m_s2＞m_s1，同樣的，由于m_s2偏置分布時所建立的坐標(biāo)系不屬于主方向的位置，其二階慣性力運動形式與單曲拐的該種結(jié)構(gòu)比較起來，慣性力圖形狀相同僅轉(zhuǎn)動方向不同，所以這種情形時會使原短長軸比為1:3的橢圓有所微量變化，并且會引起橢圓偏轉(zhuǎn)。這是由于同一側(cè)兩個m_s1共同作用所引起的慣性力的合力導(dǎo)致的。m_s2列質(zhì)量越大，原1:3的橢圓長軸越靠近m_s2列，亦即長軸向m_s2列旋轉(zhuǎn)，這與單曲拐的一樣僅二階慣性力的旋轉(zhuǎn)方向不同。

　　3.用基礎(chǔ)理論分析圖3形式三曲拐反時針轉(zhuǎn)動時慣性力

　　3.1一階慣性力的計算

　　該式表明反時針旋轉(zhuǎn)時，一階慣性力復(fù)數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程形式上與順時針旋轉(zhuǎn)時完全相同，說明同是三曲拐W型60°布置時，軌跡力圖與轉(zhuǎn)向無關(guān)，上述這種布置曲柄矢和一階慣性力旋轉(zhuǎn)矢也是互為反方向。當(dāng)二者質(zhì)量相等時，就成圓的變化，但不能在曲柄的反方向加一合適的平衡重來平衡一階往復(fù)慣性力，需要設(shè)計其它的機構(gòu)來平衡一階慣性力。

　　在建立的xoy直角坐標(biāo)系中，該橢圓的圖像是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓圖像。如果從主方向即x'oy'直角坐標(biāo)系來看，它不是標(biāo)準(zhǔn)橢圓，相當(dāng)于將該主方向上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓反時針旋轉(zhuǎn)了30°。

　　3.2二階慣性力的計算

　　上式表明反時針旋轉(zhuǎn)時，二階慣性力直角坐標(biāo)方程形式上與順時針旋轉(zhuǎn)時不同。說明換一個方向旋轉(zhuǎn)時，需要另一種方程描述二階慣性力的表現(xiàn)形式，后文的計算表明，它們的軌跡力圖是相同的。文章從理論提供了這些狀況時力矢的數(shù)學(xué)表達式，理論上也能夠找到一種合適的機構(gòu)加裝上來平衡二階往復(fù)慣性力。

　　坐標(biāo)系作負(fù)值30°旋轉(zhuǎn)變換到x'oy'坐標(biāo)系中

　　結(jié)合圖3可得，形如式（30）、（31）參數(shù)方程，其圖像是將標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系中短長軸之比為1：3的橢圓順針旋轉(zhuǎn)30°所得到的圖象。

　　4.一致性驗算

　　由圖1、圖2、圖3，利用坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換得出其公式的一致性。

　　也可以由向自身旋轉(zhuǎn)時的代數(shù)方程推導(dǎo)出不向自身旋轉(zhuǎn)時的代數(shù)方程，而不經(jīng)過中間列來過渡，即由圖3與圖2之間的關(guān)系，將圖3的狀況依圖示旋轉(zhuǎn)120°后就是圖2的狀況。其矩陣方程如下

　　上式二階方程驗算過程的成立是通過下面的矩陣乘法運算得到的：

　　5.總結(jié)

　　從上面的三種情況分析和計算，可以得出三曲拐W型60°布置有兩個ms1，一個ms2往復(fù)質(zhì)量時有以下結(jié)論：

　　5.1一階慣性力是一橢圓，m_s2列中心線是該橢圓的一個對稱軸方向，不論m_s1、m_s1、m_s2在運動平面上如何分布，若m_s2＞m_s1，則長軸在m_s2列方向，反之則短軸在m_s2列方向。

　　5.2二階慣性力也是一橢圓，若m_s1＝m_s2，不論采用上面三種情況的特殊情形來計算，該橢圓的長軸始終在水平方向，短軸在豎直方向，并且長半軸是短半軸的3倍。

　　5.3曲柄矢和一階、二階慣性力旋轉(zhuǎn)矢都是互為反方向，這與單曲拐的完全不同而數(shù)值相同。

　　5.4以上討論的都是關(guān)于慣性力對于往復(fù)質(zhì)量ms以及夾角γ對其圖像的影響，也講到了實時的相位對應(yīng)實時的圖像。如果我們從慣性力圖像變化率角度來刻畫這一理論，就需要用到開普勒定律，這在論文總結(jié)中詳細(xì)論述。

　　四.舉例分析

　　本文以安徽華晶機械有限公司生產(chǎn)的WW-0.9/10B-Q型單曲拐全無油空壓機為例分析該二級壓縮機的一、二階往復(fù)慣性力，這里假定曲軸為三曲拐。其中一級往復(fù)質(zhì)量m_s1為1.8kg，二級往復(fù)質(zhì)量m_s2也為1.8kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s，現(xiàn)將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入上文中所列的相關(guān)公式中，運用計算機內(nèi)EXCEL程序列表、繪圖計算分析，其結(jié)果如下：

　　1）按圖1形式作順時針轉(zhuǎn)動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖1所示。

　　計算結(jié)果表明：當(dāng)按照圖1所示建立的直角坐標(biāo)系xoy后，按照順時針轉(zhuǎn)θ角后，一階往復(fù)慣性力如IⅠ(θ)所示，它是一個圓；二階往復(fù)慣性力如IⅡ(θ)所示，它是一個很明顯的橢圓。一階慣性力的半徑長為711N，圖中顯示了當(dāng)θ＝0°，一階慣性力的向量是IⅠ(0)，在這個位置曲柄矢與一階慣性力矢瞬時重合，隨后二者的方向矢量始終是關(guān)于豎直軸對稱。二階慣性力圖是一個標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，二階慣性力的長半軸、短半軸為136.7N、45.6N，長軸始終在水平方向，長短軸之比為3：1。圖中還顯示了當(dāng)θ＝0°，二階慣性力的向量是IⅡ(0)。由于這種對稱布置，初始的二階慣性力向量與曲柄矢重合，當(dāng)曲軸旋轉(zhuǎn)一周時，二階慣性力是從IⅡ(0)位置開始沿著其二階力橢圓形式反時針轉(zhuǎn)動了2周，而一階力則沿著外面的橢圓反時針轉(zhuǎn)動了1周。

　　2）按圖2形式作反時針轉(zhuǎn)動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖2所示。

　　這里需說明的是，一階慣性力圖還是圖1中的那個大橢圓，方向矢則逆著曲柄矢沿軌跡圖順時針變化。兩矢量是關(guān)于豎直軸鏡像對稱。二階慣性力圖也類似這樣，并且圖2與圖3起始的二階慣性力矢量IⅡ(0)不變。

　　3）按圖3形式作順時針轉(zhuǎn)動，其一、二階慣性力矢端力圖如圖3所示。

　　應(yīng)注意到對于往復(fù)質(zhì)量固定的這些分布的型式，一、二階慣性力矢圖非常相似。也就是說，結(jié)構(gòu)決定了力矢圖。文末再提及一下二階慣性力的橢圓應(yīng)設(shè)法平衡，特別是在機器往大的方向發(fā)展時，往復(fù)質(zhì)量ms、C值都變大時尤為需要。

　　注：本文未完待續(xù)，更多精彩內(nèi)容見下期！

　　參考文獻

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　　(5)王再順，夾角為90°的V型壓縮機往復(fù)慣性力平衡的探討，[J]，壓縮機技術(shù)，1986.2

　　作者簡介

　　陸鵬程，男，安徽桐城人，海軍工程大學(xué)在職碩士畢業(yè)。現(xiàn)在中國人民解放軍第四八一二工廠，安徽華晶機械有限公司工作，高級工程師。研究方向：壓縮機研究與強度設(shè)計。